Барометрична формула. Закон Больцмана для розподілу часток в зовнішньому потенційному полі
При виведенні основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів передбачається, що молекули розподілені за обсягом рівномірно. Це можливо тільки при відсутності зовнішніх сил. Насправді в земних умовах молекули відчувають на собі дію поля тяжкості, т. Е. Перебувають у зовнішньому потенційному полі. В результаті дії двох факторів, поля тяжкості і теплового руху, в газі встановлюється деякий розподіл молекул по висоті.
Знайдемо закон, що описує залежність тиску газу від висоти над поверхнею землі. Відомо, що гідростатичний тиск рідини на глибині h одно
де - щільність рідини. Оскільки рідини мало стискувані, можна вважати їх щільність практично незалежною від глибини. Гази, на відміну від рідин, досить легко стискувані, тому їх щільність істотно залежить від висоти. Але і для газів можна користуватися подібною формулою, якщо перепад висот невеликий. Припускаючи, що висота h точки спостереження від поверхні землі отримала елементарне прирощення dh, отримаємо збільшення тиску
.
З рівняння Клапейрона-Менделєєва висловимо щільність
.
, 
.
Інтегруючи в припущенні, що температура не залежить від висоти, отримаємо так звану барометрическую формулу:
,
де p 0, p - тиск у поверхні землі і на висоті h відповідно.
Аналогічна формула виходить для залежності концентрації молекул від висоти. Оскільки n ~ p, одержуємо, що
.
Показник експоненти можна представити у вигляді
,
де - потенційна енергія молекули в полі тяжіння Землі. Використовуючи цей вислів, отримаємо, що
.
Больцман показав, що ця формула є універсальною, яка описує розподіл часток за значеннями потенційної енергії в будь-якому зовнішньому потенційному полі. Це співвідношення називають законом розподілу Больцмана.
Середня довжина вільного пробігу молекул.
Довжина вільного пробігу молекули - це середня відстань (позначається), яке частка пролітає за час вільного пробігу від одного зіткнення до наступного.
Довжина вільного пробігу кожної молекули різна, тому в кінетичної теорії вводиться поняття середньої довжини вільного пробігу (<λ>). величина<λ> є характеристикою всієї сукупності молекул газу при заданих значеннях тиску і температури.
Формула
Де - ефективне перетин молекули, - концентрація молекул.
Явища переносу в газах.
- Поширення молекул домішки в газі від джерела називається дифузією .
У стані рівноваги температура Т і концентрація n у всіх точках системи однакова. При відхиленні щільності від рівноважного значення в деякій частині системи виникає рух компонент речовини в напрямках, що призводять до вирівнювання концентрації по всьому об'єму системи. Пов'язаний з цим рухом перенесення речовини обумовлений дифузією. Дифузійний потік буде пропорційний градієнту концентрації:
| . |
- Якщо яке-небудь тіло рухається в газі, то воно стикається з молекулами газу і повідомляє їм імпульс. З іншого боку, тіло теж буде відчувати зіткнення з боку молекул, і отримувати власний імпульс, але спрямований у протилежний бік. Газ прискорюється, тіло гальмується, тобто на тіло діють сили тертя. Така ж сила тертя буде діяти і між двома сусідніми шарами газу, що рухаються з різними швидкостями. Це явище носить назву внутрішнє тертя або в'язкість газу , Причому сила тертя пропорційна градієнту швидкості:
- У стані рівноваги в середовищі, що містить заряджені частинки, потенціал електричного поля в кожній точці відповідає мінімуму енергії системи. При накладенні зовнішнього електричного поля виникає неравновесное рух електричних зарядів в такому напрямку, щоб мінімізувати енергію системи в нових умовах. Пов'язаний з цим рухом перенесення електричного заряду називається електропровідністю , А саме спрямований рух зарядів - електричним струмом.
В процесі дифузії при теплопровідності і електропровідності відбувається перенесення речовини, а при внутрішньому терті - перенесення енергії. В основі цих явищ лежить один і той же механізм - хаотичний рух молекул. Спільність механізму, що обумовлює всі ці явища переносу, призводить до того, що їх закономірності повинні бути схожі один на одного.
При виведенні основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії та закону розподілу Максвелла передбачалося, що на молекули не діють ніякі зовнішні сили. Тому можна було вважати, що молекули рівномірно розподілені по об'єму посудини.
Фактично ж молекули будь-якого газу завжди знаходяться в полі тяжіння Землі. Якби не було теплового руху молекул атмосферного повітря, то всі вони впали б на Землю. Якби не було тяжіння, то атмосферне повітря розсіявся б по всьому Всесвіті. Таким чином, тяжіння і тепловий рух призводять газ в стан, при якому його тиск і концентрація молекул залежать від висоти.
Формула залежності атмосферного тиску від висоти над рівнем Землі отримала назву барометричної формули. Для виведення барометрической формули введемо деякі припущення:
Прискорення вільного падіння вважаємо практично постійним і не залежним від висоти, так як атмосферний тиск стає зневажливо малим вже на висоті 100-200 км, набагато меншою в порівнянні з радіусом Землі;
Температуру повітря вважаємо що не залежить від висоти.
Атмосферний тиск обумовлений вагою верхніх шарів газу. Виділимо подумки вертикальний стовп повітря (рис. 18.1) з площею підстави S.
Нехай на висоті h тиск газу дорівнює p, А на висоті ( h + dh) Тиск одно ( p + dp). Так як тиск зі збільшенням висоти падає, то його збільшення буде негативним ( dp< 0).
різниця тисків p і ( p + dp) Дорівнює вазі газу, укладеного в стовпі висотою dh, поділеній на площу S, тобто
,
(18.1)
де - щільність повітря на висота h.
Замінивши в цьому рівнянні щільність за формулою, отриманої за допомогою рівняння Клапейрона-Менделєєва (14.1):
запишемо вираз (18.1) у вигляді
.
(18.2)
вважаючи T \u003d const (Відповідно до прийнятих допущеннями) і інтегруючи рівняння (18.2) по висоті від 0 до h, отримаємо
,
звідки знаходимо
,
(18.3)
де p 0 - тиск на висоті h = 0.
Вираз (18.3) носить назву барометричної формули. З неї випливає, що тиск газу зменшується з ростом висоти тим швидше, чим важче газ (чим більше ) і чим нижче температура. На ріс.18.2 зображені дві залежності виду (18.3), що відповідають двом газам з різними молярними масами 1 і 2 при T \u003d const (тиск p 0 для h \u003d 0 у обох газів прийнято умовно однаковим).
(18.4)
лежить в основі принципу роботи авіаційних висотомірів (альтиметрів): вимірюючи за допомогою барометра тиск, ці прилади показують значення висоти над рівнем моря.
З формули (18.3) можна отримати співвідношення між концентраціями газу на різній висоті, підставивши в неї рівняння стану газу в формі (15.26):
.
(18.5)
замінивши відношення / R для однорідного газу на ставлення m / k (m - маса молекули) і скоротивши обидві частини рівності на kТ, отримаємо
, (18.6)
де n 0 - концентрація молекул газу при h =0.
З виразу (18.6) випливає, що чим важче газ (більше m) І чим менше його температура Т, Тим більше концентрація молекул у поверхні Землі в порівнянні з концентрацією на деякій висоті (переважання тяжіння Землі над тепловим рухом молекул). І навпаки, чим легше газ і більше його температура, тим більше теплове рух молекул переважає над тяжінням і концентрація повільно убуває з ростом висоти.
Порівняння цих залежностей показує, що чим менше температура газу, тим більша неоднорідність спостерігається в розподілі концентрації молекул газу по висоті.
твір, добуток mgh в рівнянні (18.6) являє собою потенційну енергію W n однієї молекули в полі тяжіння Землі. Отже, розподіл молекул по висоті є разом з тим і розподілом їх за значеннями
потенційної енергії:
.
(18.7)
Австрійський фізик Л. Больцман довів, що формула (18.7) справедлива для будь-якої сукупності однакових часток, що знаходяться в стані хаотичного теплового руху в потенційному полі будь-якої природи. У зв'язку з цим функцію (18.7) називають розподілом Больцмана. Таким чином, розподіл (18.6) є окремим випадком більш загального розподілу (18.7). Між розподілом Максвелла (17.6) і Больцмана (18.7) є велика схожість: і в тому і в іншому розподілі в показнику ступеня експоненти варто відношення енергії молекули (в одному випадку потенційної, а в іншому кінетичної) до величини кТ, Що визначає середню кінетичну енергію теплового хаотичного руху.
Розподілу (17.6) і (18.7) можуть бути об'єднані в одне розподіл Максвелла-Больцмана, Згідно з яким число молекул, компоненти швидкостей яких лежать в межах від 
до, а координати в межах від 
до одно
де 
.
З формули (18.8) випливає, що 
визначається повної енергій молекули 
.
Таким чином, в стані з постійною температурою швидкості молекул в кожній точці простору розподілені за законом Максвелла. Вплив силового поля позначається тільки на зміні концентрації молекул від точки до точки.
РозподілБольцмана для частинок у зовнішньому потенціальному полі
Газ, на який не діє зовнішнє силове поле, рівномірно заповнює обсяг, в якому він знаходиться, завдяки хаотичності теплового руху молекул. Якщо на молекули газу діють зовнішні сили, то концентрація газу не буде однаковою в усіх точках обсягу. Розглянемо як приклад атмосферне газ, що знаходиться в полі земного тяжіння. Якби не було тепловий рух, то все молекули атмосфери опустилися б на поверхню Землі під дією сил тяжіння і земна атмосфера не могла б існувати. Однак цьому перешкоджає хаотичний рух молекул, яке сприяє зворотному процесу - прагненню атмосферного газу розсіятися і заповнити рівномірно весь Всесвіт. Отже, атмосфера Землі може існувати за рахунок цих двох чинників в деякому рівноважному стані, при якому її щільність, концентрація молекул і тиск будуть залежати від просторових координат.
Знайдемо закон зміни цих величин в залежності від висоти над поверхнею Землі. Будемо вважати, що газ знаходиться в стані термодинамічної рівноваги і його температура скрізь однакова. Виділимо деякий стовп газу, що має форму циліндра, площею поперечного перерізу s, і направимо вісь zвздовж стовпа у напрямку від поверхні Землі. Встановимо початок відліку координати zна поверхні Землі (рис. 19.3).
Виділимо на висоті zелементарний шар стовпа газу товщиною dzі скористаємося тим, що цей шар, як і весь стовп, знаходиться в стані механічної рівноваги. Це означає, що рівнодіюча всіх сил, що діють на шар, дорівнює нулю. З рис. 19.3 видно, що рівнодіюча складається з трьох сил: дві сили тиску F H і F B , діючі на нижню і верхню основу шару, і сила тяжіння dPсамого шару. Позначимо тиск газу в точках нижньої основи p, А в точках верхнього підстави р + dp.тоді
F H \u003d pS; F B \u003d (P + dp) S; dP \u003dρ gSdz,
де ρ - щільність шару повітря.
З урахуванням напрямку сил умова рівноваги шару запишеться у вигляді
F B + DP \u003d F H (18.28)
(р+ dp) S+ ρ gSdz \u003d pS.(18.29)
Розкривши в (18.29) дужки, отримаємо диференціальне рівняння
dp \u003d -ρ gdz.(18.30)
З рівняння Клапейрона - Менделєєва слід, що щільність газу пов'язана з тиском формулою
де т а- маса молекули газу.
Використовуючи (18.31), перетворимо диференціальне рівняння (18.30) до виду
. (18.32)
Інтегруючи це рівняння по висоті від 0 до z, одержуємо
, (18.33)
де ln p 0 - постійна інтегрування.
Потенцііруя (18.33), маємо
З (18.34) видно, що р 0має сенс тиску атмосфери на поверхні Землі, де z \u003d 0.
Отримане рівняння визначає залежність тиску атмосфери поблизу Землі від висоти над рівнем моря. Як і слід було очікувати, при збільшенні висоти тиск зменшується. Відповідно до формули (18.34), яка називається барометричної, це зменшення підпорядковується експоненціальним законом. Вимірюючи тиск по барометра, переписати в відповідно до барометричної формулою, можна визначити висоту об'єкта над поверхнею Землі. Такий прилад називається альтиметром і широко застосовується в авіації.
Використовуючи барометрическую формулу, легко встановити закон розподілу концентрації молекул по висоті hнад поверхнею Землі. З цією метою скористаємося рівнянням стану ідеального газу p \u003d nkT.У цій формулі тиск рі концентрація молекул пзалежать від висоти, в той час як температура Тпостійна відповідно до припущення, що газ знаходиться в стані термодинамічної рівноваги. З рівняння стану і барометрической формули для концентрації пна висоті hвипливає:
, (18.35)
де n 0- концентрація молекул повітря при h= 0.
Звернувши увагу на те, що в показник експоненти в правій частині (18.35) входить потенційна енергія молекули в полі сили тяжіння W ПОТ \u003d m a gh,перепишемо (18.35) у вигляді
. (18.36)
Виявляється, що вираз (18.36) для розподілу молекул має загальний характер і справедливо для частинок, що знаходяться в зовнішньому потенційному полі будь-якого виду. Цей розподіл називається розподілом Больцмана.
У розподілі Больцмана (18.36) під n 0слід розуміти концентрацію молекул в точці поля, де їх потенційна енергія дорівнює нулю, W ПОТ \u003d 0, а пявляє собою концентрацію молекул в точці, де їх потенційна енергія дорівнює W ПОТ.
Як відомо, щільність газу ρ прямо пропорційна концентрації молекул п.Тому, використовуючи (18.35), неважко показати, що розподіл щільності повітря в атмосфері Землі буде описуватися виразом:
, (18.37)
де М- молярна маса газу.
З (18.34), (18.35) і (18.37) випливає, що в атмосфері Землі р, пі ρ повітря зменшуються одноманітно зі збільшенням висоти.
З огляду на, що концентрація пза визначенням дорівнює , де dN- число молекул в елементарному обсязі dV, Можна уявити розподіл Больцмана в формі
Нехай ідеальний газ знаходиться в будь-якому силовому полі, наприклад, в полі тяжіння. Так як на молекули газу в цьому випадку діють зовнішні сили, то тиск газу не буде всюди однаковим, а буде змінюватися від точки до точки.
У найпростішому випадку сили поля мають незмінне напрямок, що характеризується віссю z. Нехай два майданчики одиничної площі орієнтовані перпендикулярно осі z і знаходяться один від одного на відстані dz. Якщо тиску газу на обох майданчиках рівні р і p + dp, то різниця тисків повинна, очевидно, дорівнювати сумарній силі, що діє на частки газу, укладені в обсязі паралелепіпеда з одиничним підставою і висотою d z. Ця сила дорівнює Fnd z, де n - щільність молекул (т. Е. Їх число в одиниці об'єму), a F - сила, що діє на одну молекулу в точці з координатою z. Тому
d p = nFd z.
сила F пов'язана з потенційною енергією U (z) молекули співвідношенням F \u003d - dU / dz, так що
d p = – nd z d U/ d z \u003d - n d U.
Так як газ передбачається ідеальним, то p = nkT. Якщо температура газу в різних точках однакова, то
d p = kT d n.
Різниця тисків d p в обох випадках визначається різницею висот. Тому
і остаточно
тут n 0 - постійна, що представляє собою щільність молекул в точці, де U = 0.
Отримана формула, що зв'язує зміну густини газу з потенційною енергією його молекул, називається формулою Больцмана. Тиск відрізняється від щільності постійним множником kT, Тому таке ж рівняння справедливо і для тиску
У разі поля тяжкості поблизу земної поверхні потенційна енергія молекули на висоті z дорівнює U = mgz, Де m - маса молекули. Тому, якщо вважати температуру газу не залежить від висоти, то тиск р на висоті z буде пов'язано з тиском р 0 на поверхні Землі співвідношенням
Цю формулу називають барометрической формулою. Її зручніше представити у вигляді
де m - молекулярна вага газу, R - газова постійна.
Цю формулу можна застосовувати і в разі суміші газів. Оскільки молекули ідеальних газів практично не взаємодіють один з одним, кожен газ можна розглядати окремо, т. Е. Аналогічна формула застосовна до парціального тиску кожного з них. Чим більше молекулярна вага газу, тим швидше його тиск зменшується з висотою. Тому атмосфера в міру збільшення висоти все більш збагачується легкими газами: кисень, наприклад, зменшується в атмосфері швидше, ніж азот.
Слід, однак, мати на увазі, що застосовність барометрической формули до реальної атмосфері вельми обмежена, оскільки атмосфера насправді не знаходиться в тепловій рівновазі і її температура змінюється з висотою.
З формули Больцмана можна зробити цікавий висновок, якщо спробувати застосувати її до атмосфери на будь-яких відстанях від Землі. На дуже великих відстанях від земної поверхні під U потрібно розуміти не mgz, A точне значення потенційної енергії частинки
де g - гравітаційна стала, М - маса Землі і r - відстань від центру Землі. Справедливість цього вислову легко перевірити диференціюванням по відстані (F \u003d - dU / dr) і подальшим порівнянням з законом всесвітнього тяжіння. Підстановка цієї енергії в формулу Больцмана дає такий вираз для щільності газу:
де через n ¥ тепер позначена щільність газу в місці, де U\u003d 0 (т. Е. На нескінченному відстані від Землі). якщо r дорівнює радіусу Землі R, Одержимо співвідношення між щільністю атмосфери на поверхні Землі n 0 і на нескінченності n ¥:
Відповідно до цієї формули щільність атмосфери на нескінченно великій відстані від Землі повинна була б бути відмінна від нуля. Такий висновок, однак, абсурдний, так як атмосфера має земне походження, і кінцеве кількість газу не може бути розподілено по нескінченному обсягом з ніде не зникає щільністю. Отриманий висновок пояснюється тим, що атмосфера передбачалася знаходиться в стані теплової рівноваги, що не відповідає дійсності.
Даний результат показує, що гравітаційне поле взагалі не може утримати газ в стані рівноваги, а тому атмосфера повинна безперервно розсіюватися в просторі. У разі Землі це розсіювання надзвичайно повільно, і за весь час свого існування Земля не втратила скільки-небудь помітної частки своєї атмосфери. Але, наприклад, в разі Місяця з її набагато більш слабким полем тяжіння втрата атмосфери відбувалася набагато швидше, і в результаті Місяць в даний час атмосфери вже не має.