Урок "Множення і ділення алгебраїчних дробів. Зведення алгебраїчної дробу до степеня"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Всі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Електронна робочий зошит з алгебри для 8 класу
Мультимедійний навчальний посібник для 8 класу "Алгебра за 10 хвилин"
Попереднє розкладання алгебри дробу на множники
Перед початком роботи з дробом, а саме на множенні і діленні, бажано провести розкладання чисельника і знаменника на множники. Це полегшить розкладання на множники дробу, яка вийде в результаті математичного дії.Наприклад, дана дріб:
$ \\ Frac (8x + 8y) (16) $.
Зробимо тотожне перетворення, тобто розкладемо чисельник на множники.
$ \\ Frac (8x + 8y) (16) \u003d \\ frac (8 (x + y)) (16) $.
Або, наприклад, дана така дріб:
$ \\ Frac (x ^ 2-y ^ 2) (x + 1) $.
Її краще привести до такого виду:
$ \\ Frac (x ^ 2-y ^ 2) (x + 1) \u003d \\ frac ((x + y) (x-y)) (x + 1) $.
Не забуваємо про властивість:
$ (B-a) ^ 2 \u003d (a-b) ^ 2 $.
Множення алгебраїчних дробів з однаковими і різними знаменниками
Множення алгебраїчних дробів проводиться так само, як і множення звичайних дробів. Перемножуються між собою чисельники і знаменники.У вигляді формули це можна представити таким чином:
$ \\ Frac (a) (b) * \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (ac) (bd) $
Розглянемо кілька прикладів.
Приклад 1.
Обчисліть:
$ \\ Frac (5x + 5y) (x-y) * \\ frac (x ^ 2-y ^ 2) (10x) $.
Розкладемо дріб на множники.
$ \\ Frac (5x + 5y) (xy) * \\ frac (x ^ 2-y ^ 2) (10x) \u003d \\ frac (5 (x + y)) (xy) * \\ frac ((xy) (x + y)) (10x) $.
Наведемо обидві дроби до спільного знаменника (згадаємо урок: "Додавання і віднімання дробів", де були підказки, як краще і простіше підбирати загальний знаменник). В результаті отримаємо дріб.
$ \\ Frac (5 (x + y) (x-y) (x + y)) ((x-y) * 10x) \u003d \\ frac ((x + y) ^ 2) (2x) $
Приклад 2.
Обчисліть:
$ \\ Frac (7a ^ 3b ^ 5) (3a-3b) * \\ frac (6b ^ 2-12ab + 6a ^ 2) (49a ^ 4b ^ 5) $.
Розкладемо на складові множники і скоротимо дріб.
$ \\ Frac (7a ^ 3b ^ 5) (3a-3b) * \\ frac (6 (b ^ 2-2ab + a ^ 2)) (49a ^ 4b ^ 5) \u003d \\ frac (7a ^ 3b ^ 5 * 6 (ba) ^ 2) (3 (ab) * 49a ^ 4b ^ 5) \u003d \\ frac (2 (ba) ^ 2) (7a (ab)) $.
Ділення алгебраїчних дробів з однаковими і різними знаменниками
Ділення дробів проводиться так само, як і ділення звичайних дробів, тобто потрібно дріб "подільника" перевернути і зробити множення.$ \\ Frac (a) (b): \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (ad) (bc) $
Розглянемо приклади.
Приклад 3.
Виконайте дії:
$ \\ Frac (x ^ 3-1) (8y): \\ frac (x ^ 2 + x + 1) (16y ^ 2) $.
Розкладемо дробу на множники.
$ \\ Frac (x ^ 3-1) (8y): \\ frac (x ^ 2 + x + 1) (16y ^ 2) \u003d \\ frac ((x-1) (x ^ 2 + x + 1)) ( 8y): \\ frac (x ^ 2 + x + 1) (16y ^ 2) $.
Тепер перевертаємо дріб і множимо.
$ \\ Frac ((x-1) (x ^ 2 + x + 1) * 16y ^ 2) (8y * (x ^ 2 + x + 1)) \u003d 2y * (x-1) $.
Приклад 4.
Обчисліть:
$ \\ Frac (a ^ 4-b ^ 4) (ab + 2b-3a-6): \\ frac (b-a) (a + 2) $.
Розкладемо на множники і згрупуємо многочлени.
$ \\ Frac (a ^ 4-b ^ 4) (ab + 2b-3a-6): \\ frac (ba) (a + 2) \u003d \\ frac ((a ^ 2b ^ 2) (a ^ 2 + b ^ 2)) ((ab + 2b) - (3a + 6)): \\ frac (ba) (a + 2) \u003d $
$ \\ Frac ((a-b) (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2)) (b (a + 2) -3 (a + 2)): \\ frac (b-a) (a + 2) $.
Перевертаємо і множимо дробу.
$ \\ Frac ((ab) (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2) (a + 2)) ((a + 2) (b-3) (ba)) \u003d \\ frac (- (a + b) (a ^ 2 + b ^ 2)) ((b-3)) $.
Приклад.
Знайдіть твір алгебраїчних дробів і.
Рішення.
Перед виконанням множення дробів, розкладемо на множники многочлен в чисельнику першого дробу і знаменнику другий. У цьому нам допоможуть відповідні формули скороченого множення: x 2 + 2 · x + 1 \u003d (x + 1) 2 і x 2 -1 \u003d (x-1) · (x + 1). Таким чином, .
Очевидно, отриману дріб можна скоротити 
(Цей процес ми розбирали в статті скорочення алгебраїчних дробів).
Залишилося лише записати результат у вигляді алгебраїчної дробу, для чого потрібно виконати множення одночлена на многочлен в знаменнику: 
.
Зазвичай рішення записують без пояснень у вигляді послідовності рівності: 
відповідь:
.
Іноді з алгебраїчними дробами, які потрібно помножити або розділити, слід виконати деякі перетворення, щоб виконання зазначених дій проходило простіше і швидше.
Приклад.
Розділіть алгебраїчну дріб на дріб.
Рішення.
Спростимо вигляд алгебраїчної дробу, позбувшись від дрібного коефіцієнта. Для цього помножимо її чисельник і знаменник на 7, що нам дозволяє зробити основну властивість алгебраїчної дробу, маємо 
.
Тепер стало видно, що знаменник отриманої дробу і знаменник дробу, на яку нам потрібно виконати поділ, є протилежними виразами. Змінимо знаки чисельника і знаменника дробу, маємо 
.
на даному уроці будуть розглянуті правила множення і ділення алгебраїчних дробів, а також приклади на застосування даних правил. Множення і ділення алгебраїчних дробів не відрізняється від множення і ділення звичайних дробів. Разом з тим, наявність змінних призводить до трохи більш складним способам спрощення отриманих виразів. Незважаючи на те, що множення і ділення дробів виконується простіше, ніж їх додавання і віднімання, до вивчення даної теми необхідно підійти вкрай відповідально, оскільки в ній існує багато «підводних каменів», на які зазвичай не звертають уваги. В рамках уроку ми не тільки вивчимо правила множення і ділення дробів, а й розберемо нюанси, які можуть виникнути при їх застосуванні.
Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами
урок:Множення і ділення алгебраїчних дробів
Правила множення і ділення алгебраїчних абсолютно аналогічні правилам множення і ділення звичайних дробів. Нагадаємо їх:
Тобто, для того, щоб помножити дробу, необхідно помножити їх чисельники (це буде чисельник твори), і помножити їх знаменники (це буде знаменник твори).
Розподіл на дріб - це множення на перевернуту дріб, тобто, для того, щоб розділити дві дробу, необхідно першу з них (ділене) помножити на перевернуту другу (дільник).
Незважаючи на простоту даних правил, багато при вирішенні прикладів на цю тему припускаються помилок в ряді окремих випадків. Розглянемо докладніше ці окремі випадки:
У всіх цих правилах ми користувалися таким фактом:.
Вирішимо кілька прикладів на множення і ділення звичайних дробів, щоб згадати, як користуватися зазначеними правилами.
приклад 1
Примітка: при скороченні дробів ми користувалися розкладанням числа на прості множники. Нагадаємо, що простими числами
називаються такі натуральні числа, які діляться тільки на і на саме себе. Решта числа називаються складовими
. Число не відноситься ні до простих, ні до складених. Приклади простих чисел: 
.
приклад 2
Розглянемо тепер один з окремих випадків зі звичайними дробами.
приклад 3
Як бачимо, множення і ділення звичайних дробів, в разі правильного застосування правил, не є складним.
Розглянемо множення і ділення алгебраїчних дробів.
приклад 4
приклад 5
Відзначимо, що скорочувати дроби після множення можна і навіть потрібно за тими ж правилами, які ми до цього розглядали на уроках, присвячених скорочення алгебраїчних дробів. Розглянемо кілька простих прикладів на окремі випадки.
приклад 6
приклад 7
Розглянемо тепер кілька більш складних прикладів на множення і ділення дробів.
приклад 8
приклад 9
приклад 10
приклад 11
приклад 12
приклад 13
До цього ми розглядали дробу, в яких і чисельник, і знаменник були одночленной. Однак в ряді випадків необхідно перемножити або розділити дробу, чисельники і знаменники яких є многочленами. У цьому випадку правила залишаються такими ж, а для скорочення необхідно використовувати формули скороченого множення і винесення за дужки.
приклад 14
приклад 15
приклад 16
приклад 17
приклад 18
У цій статті ми продовжуємо вивчення основних дій, які можна виконувати з алгебраїчними дробами. Тут ми розглянемо множення і ділення: спочатку виведемо потрібні правила, а потім проілюструємо їх рішеннями завдань.
Як правильно ділити і множити алгебраїчні дроби
Щоб виконати множення алгебраїчних дробів або розділити одну дріб на іншу, нам потрібно використовувати ті ж правила, що і для звичайних дробів. Згадаймо їх формулювання.
Коли нам треба помножити одну звичайну дріб на іншу, ми виконуємо окремо множення числителей і окремо знаменників, після чого записуємо підсумкову дріб, розставивши по місцях відповідні твори. Приклад такого обчислення:
2 3 · 4 7 \u003d 2 · 4 3 · 7 \u003d 8 21
А коли нам треба розділити звичайні дроби, ми робимо це за допомогою множення на дріб, зворотний дільнику, наприклад:
2 3: 7 11 \u003d 2 3 · 11 7 \u003d 22 7 \u003d 1 1 21
Множення і ділення алгебраїчних дробів виконується відповідно до тих же принципами. Сформулюємо правило:
визначення 1
Щоб перемножити дві і більше алгебраїчні дроби, потрібно перемножити окремо чисельники і знаменники. Результатом буде дріб, у чисельнику якого буде стояти твір числителей, а в знаменнику - твір знаменників.
У буквеному вигляді правило можна записати як a b · c d \u003d a · c b · d. Тут a, b, c і d будуть представляти із себе певні многочлени, причому b і d не можуть бути нульовими.
визначення 2
Для того щоб розділити одну алгебраїчну дріб на іншу, потрібно виконати множення першого дробу на дріб, зворотний другий.
Це правило можна також записати як a b: c d \u003d a b · d c \u003d a · d b · c. Букви a, b, c і d тут означають многочлени, з яких a, b, c і d не можуть бути нульовими.
Окремо зупинимося на тому, що таке зворотна алгебраїчна дріб. Вона представляє із себе таку дріб, яка при множенні на вихідну дає в підсумку одиницю. Тобто такі дроби будуть аналогічні взаємно зворотним числах. Інакше можна сказати, що зворотна алгебраїчна дріб складається з таких же значень, що і вихідна, однак чисельник і знаменник у неї міняються місцями. Так, по відношенню до дробу a · b + 1 a 3 дріб a 3 a · b + 1 буде зворотною.
Рішення задач на множення і ділення алгебраїчних дробів
У цьому пункті ми подивимося, як правильно застосовувати озвучені вище правила на практиці. Почнемо з простого і наочного прикладу.
приклад 1
Умова: помножте дріб 1 x + y на 3 · x · y x 2 + 5, а потім розділіть одну дріб на іншу.
Рішення
Спочатку виконаємо множення. Згідно з правилом, потрібно окремо перемножити числители і знаменники:
1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 \u003d 1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5)
Ми отримали новий многочлен, який потрібно привести до стандартного вигляду. Закінчуємо обчислення:
1 · 3 · x · y (x + y) · (x 2 + 5) \u003d 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y
Тепер подивимося, як правильно розділити одну дріб на іншу. За правилом нам треба замінити цю дію множенням на зворотну дріб x 2 +5 3 · x · y:
1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 \u003d 1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y
Наведемо отриману дріб до стандартного вигляду:
1 x + y · x 2 + 5 3 · x · y \u003d 1 · x 2 + 5 (x + y) · 3 · x · y \u003d x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2
відповідь: 1 x + y · 3 · x · y x 2 + 5 \u003d 3 · x · y x 3 + 5 · x + x 2 · y + 5 · y; 1 x + y: 3 · x · y x 2 + 5 \u003d x 2 + 5 3 · x 2 · y + 3 · x · y 2.
Досить часто в процесі ділення і множення звичайних дробів виходять результати, які можна скоротити, наприклад, 2 9 · 3 8 \u003d 6 72 \u003d 1 12. Коли ми виконуємо ці дії з алгебраїчними дробами, ми також можемо отримати скоротні результати. Для цього корисно попередньо розкласти чисельник і знаменник вихідного многочлена на окремі множники. Якщо потрібно, перечитайте статтю про те, як правильно це робити. Розберемо приклад завдання, в якій потрібно буде виконати скорочення дробів.
приклад 2
Умова: перемножте дробу x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 і 6 · x x 2 - 1.
Рішення
Перед тим, як обчислювати твір, розкладемо на окремі множники чисельник першого вихідної дробу і знаменник другого. Для цього нам будуть потрібні формули скороченого множення. Рахуємо:
x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · xx 2 - 1 \u003d x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x - 1) · (x + 1) \u003d x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1
У нас вийшла дріб, яку можна скоротити:
x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 \u003d x + 1 3 · x 2 · (x - 1)
Про те, як це робиться, ми писали в статті, присвяченій скорочення алгебраїчних дробів.
Перемноживши одночлен і многочлен в знаменнику, ми отримаємо потрібний нам результат:
x + 1 3 · x 2 · (x - 1) \u003d x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2
Ось запис всього рішення без пояснень:
x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · xx 2 - 1 \u003d x + 1 2 18 · x 3 · 6 · x (x - 1) · (x + 1) \u003d x + 1 2 · 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 \u003d \u003d x + 1 3 · x 2 · (x - 1) \u003d x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2
відповідь: x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 · 6 · x x 2 - 1 \u003d x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2.
У деяких випадках вихідні дробу перед множенням або діленням зручно перетворити, щоб подальші обчислення стали швидше і простіше.
приклад 3
Умова: розділіть 2 1 7 · x - 1 на 12 · x 7 - x.
Рішення: почнемо з спрощення алгебраїчної дробу 2 1 7 · x - 1, щоб позбутися від дрібного коефіцієнта. Для цього помножимо обидві частини дробу на сім (це дія можлива завдяки основному властивості алгебри дробу). В результаті у нас вийде наступне:
2 1 7 · x - 1 \u003d 7 • 2 7 · 1 7 · x - 1 \u003d 14 x - 7
Бачимо, що знаменник дробу 12 · x 7 - x, на яку нам потрібно розділити перший дріб, і знаменник отриманої дробу є протилежними один одному виразами. Змінивши знаки чисельника і знаменника 12 · x 7 - x, отримаємо 12 · x 7 - x \u003d - 12 · x x - 7.
Після всіх перетворень можемо нарешті перейти безпосередньо до поділу алгебраїчних дробів:
2 1 7 · x - 1: 12 · x 7 - x \u003d 14 x - 7: - 12 · xx - 7 \u003d 14 x - 7 · x - 7 - 12 · x \u003d 14 · x - 7 x - 7 · - 12 · x \u003d \u003d 14 - 12 · x \u003d 2 · 7 - 2 · 2 · 3 · x \u003d 7 - 6 · x \u003d - 7 6 · x
відповідь: 2 1 7 · x - 1: 12 · x 7 - x \u003d - 7 6 ∙ x.
Як помножити або розділити алгебраїчну дріб на многочлен
Щоб виконати таку дію, ми можемо скористатися тими ж правилами, що ми приводили вище. Попередньо потрібно представити многочлен у вигляді алгебраїчної дробу з одиницею в знаменнику. Ця дія аналогічно перетворенню натурального числа в звичайну дріб. Наприклад, можна замінити многочлен x 2 + x - 4 на x 2 + x - 4 1 . Отримані вирази будуть тотожно рівні.
приклад 4
Умова: розділіть алгебраїчну дріб на многочлен x + 4 5 · x · y: x 2 - 16.
Рішення
x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 \u003d x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 1 \u003d x + 4 5 · x · y · 1 x 2 - 16 \u003d \u003d x + 4 5 · x · y · 1 (x - 4) · x + 4 \u003d (x + 4) · 1 5 · x · y · (x - 4) · (x + 4) \u003d 1 5 · x · y · x - 4 \u003d \u003d 1 5 · x 2 · y - 20 · x · y
відповідь: x + 4 5 · x · y: x 2 - 16 \u003d 1 5 · x 2 · y - 20 · x · y.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter
Щоб виконати множення алгебраїчних (раціональних) дробів, треба:
1) У чисельник записати твір числителей, в знаменник - добуток знаменників цих дробів.
При цьому многочлени потрібно.
2) Якщо можна, скоротити дріб.
Зауваження.
При множенні суму і різницю необхідно укласти в дужки.
Приклади множення алгебраїчних дробів.
При множенні алгебраїчних дробів окремо множимо числители, окремо - знаменники цих дробів:
Скорочуємо 36 і 45 на 9, 22 і 55 на 11, a² і на a a, b і b на b, c⁵ і c² на c²:
Щоб помножити алгебраїчні дроби, потрібно чисельник помножити на чисельник, а знаменник - на знаменник. Так як в чисельнику і знаменниках даних дробів стоять многочлени, їх потрібно.
У чисельнику першого дробу виносимо за дужки загальний множник 3. Чисельник другого дробу розкладаємо на множники як різницю квадратів. У знаменнику першого дробу - квадрат різниці. У знаменнику другого дробу виносимо за дужки загальний множник 5:
Дріб можна скоротити на (x + 3) і (2x-1):
Множимо чисельник на чисельник, знаменник - на знаменник. Знаменник другого дробу розкладаємо на множники за формулою різниці квадратів:
(A-b) і (b-a) відрізняються тільки знаком. Винесемо «мінус» за дужки, наприклад, в чисельнику. Після цього скоротимо дріб на (a-b) і на a:
При множенні алгебраїчних дробів чисельник множимо на чисельник, знаменник - на знаменник. Вхідні в них многочлени намагаємося розкласти на множники.
У першій дробу у чисельнику - повний квадрат суми, в знаменнику - сума кубів. У другій дробу у чисельнику - (частина формули суми кубів), в знаменнику є загальний множник 3, який виносимо за дужки:
Скорочуємо дріб на (x + 3) ² і (x²-3x + 9):
В алгебрі дії з алгебраїчними (раціональними) дробом можуть зустрічатися як у вигляді окремого завдання, так і в ході вирішенні інших прикладів, наприклад, рішення рівнянь і нерівностей. Ось чому важливо вчасно навчитися множити, ділити, додавати і віднімати такі дроби.
Рубрика: |