Довільний п'ятикутник. Побудова п'ятикутника детально

Завдання побудови вірного п'ятикутника зводиться до задачі розподілу окружності на п'ять рівних частин. Від того що правильний п'ятикутник - це одна з фігур, що містить в собі пропорції золотого перетину, його побудовою здавна цікавилися живописці і математики. Зараз виявлені кілька методів побудови вірного багатокутника, вписаного в задану окружність.

Вам знадобиться

- лінійка
- циркуль

Інструкція

1. Мабуть, що якщо звести вірний десятіугольнік, а після цього об'єднати його вершини через одну, то отримаємо п'ятикутник. Для побудови десятіугольніка накресліть коло заданого радіуса. Позначте її центр буквою O. Проведіть два перпендикулярні один одного радіуса, на малюнку вони позначені як OA1 і OB. Радіус OB поділіть навпіл з підмогою лінійки або способом ділення відрізка навпіл з підмогою циркуля. Побудуйте маленьку окружність з центром C в середині відрізка OB радіусом, рівним половині OB.Об'едініте точку C з точкою A1 на початковій окружності по лінійці. Відрізок CA1 перетинає допоміжну коло в точці D. Відрізок DA1 дорівнює стороні правильного десятіугольніка, вписаного в дану окружність. Циркулем зауважте даний відрізок на окружності, після цього об'єднайте точки перетину через одну і ви отримаєте позитивний п'ятикутник.

2. Ще один метод виявив німецький художник Альбрехт Дюрер. Щоб звести п'ятикутник за його методом, почніть знову з побудови кола. Знову зауважте її центр O і проведіть два перпендикулярних радіуса OA і OB. Радіус OA поділіть навпіл і середину зауважте буквою C. Встановіть голку циркуля в точку C і розкрийте його до точки B. Проведіть коло радіуса BC до перетину з діаметром початкової окружності, на якому лежить радіус OA. Точку перетину позначте D. Відрізок BD - сторона позитивного п'ятикутника. Відкладіть даний відрізок п'ять разів на початковій окружності і об'єднайте точки перетину.

3. Якщо ж потрібно звести п'ятикутник за його заданої стороні, то вам потрібен 3-й метод. Накресліть по лінійці сторону п'ятикутника, позначте цей відрізок літерами A і B. Поділіть його на 6 рівних частин. З середини відрізка AB проведіть промінь, перпендикулярний відрізку. Побудуйте дві окружності радіусом AB і центрами в A і B, як якщо б ви збиралися розділяти відрізок навпіл. Ці кола перетинаються в точці С. Точка C при цьому лежить на промені, що виходить перпендикулярно вгору з середини AB. Відкладіть від C вгору по цьому променю відстань, рівну 4/6 від довжини AB, позначте цю точку D. Побудуйте коло радіуса AB з центром в точці D. Перетин цієї окружності з двома допоміжними побудованими раніше дасть останні дві вершини п'ятикутника.

Тема поділу кола на рівні частини з метою побудови вірних вписаних багатокутників здавна займала розуми древніх вчених. Ці тези побудови з використанням циркуля і лінійки були висловлені ще в евклідова «Засадах». Втім лише через два тисячоліття ця задача була повністю вирішена не тільки графічно, а й математично.

Інструкція

1. Наближене побудова позитивного п'ятикутника методом А. Дюрера, з підмогою циркуля і лінійки (через два кола з загальним радіусом, рівним стороні п'ятикутника).

2. побудова вірного п'ятикутника на основі позитивного десятіугольніка, вписаного в коло (об'єднавши вершини десятіугольніка через одну).

3. Графічне побудова через обчислений внутрішній кут п'ятикутника з підтримкою транспортира і лінійки (сума кутів опуклого n-кутника дорівнює Sn \u003d 180 ° (n - 2), тому що у позитивного багатокутника всі кути рівні). При n \u003d 5, S5 \u003d 5400 тоді величина кута 1080.А так само з підтримкою окружності і 2-х променів, що виходять з її центру, за умови, що кут між ними дорівнює 720, тому що (36005 \u003d 720). Їх перетин з окружністю дасть відрізок, рівний стороні п'ятикутника .

4. Ще один легкої графічний метод: поділити діаметр заданої окружності AB на три частини (AC \u003d CD \u003d DE). З точки D опустити перпендикуляр до перетину з окружність в точках E, F.Проведя прямі через відрізки EC і FC до перетину з колом, отримаємо точки G, H.Точкі G, E, B, F, H - вершини позитивного п'ятикутника .

5. Побудова з підтримкою прийому Біона (дозволяє звести вірний вписаний в окружність багатокутник з будь-яким числом сторін n по заданому співвідношенню) .Скажем: для n \u003d 5. Зведемо позитивний трикутник ABC, де AB - діаметр заданої окружності. Виявимо на AB точку D, щодо подальшого співвідношенню: AD: AB \u003d 2: n. При n \u003d 5, AD \u003d 25 * AB. Проведемо пряму через CD до перетину з колом в точці E. Відрізок AE - сторона правильного вписаного п'ятикутника При n \u003d 5,7,9,10 похибка побудови не перевищує 1%. Із зростанням n, похибка наближення зростає, але залишається трохи менше 10,3%.

6. Побудова по заданій стороні за способом Л. Да Вінчі (застосовуючи співвідношення між стороною багатокутника (аn) і апофемой (ha): аn / 2: ha \u003d 3 / (n-1), яке дозволено висловити так: tg180 ° / n \u003d 3 / (n-1)).

7. Загальний метод побудови позитивних багатокутників по заданій стороні за способом Ф. Коваржика (1888 г.), на основі правила Л. да Вінчі.Цельний метод побудови позитивного n-кутника на підставі теореми Фалеса.Дозволено додати тільки, що наближені способи побудови багатокутників справжні, примітивні і прекрасні.

Існують два основні методи побудови вірного багатокутника з п'ятьма сторонами. Обидва вони вважають застосування циркуля, лінійки та олівця. 1-й метод являє собою вписування п'ятикутника в коло, а 2-й метод базується на заданій довжині боку вашої майбутньої геометричної фігури.

Вам знадобиться

Циркуль, лінійка, олівець

Інструкція

1. 1-й метод побудови п'ятикутника вважається більше «типовим». Для початку побудуйте коло і як-небудь позначте її центр (зазвичай для цього застосовується літера О). Після цього проведіть діаметр цього кола (назвемо його АВ) і поділіть один з 2-х отриманих радіусів (скажімо, ОА) рівно навпіл. Середину цього радіусу позначимо літерою С.

2. З точки О (центру початковій окружності) проведіть ще один радіус (ОD), той, що буде суворо перпендикулярний проведеним раніше діаметру (АВ). Після цього візьміть циркуль, поставте його в точку С і відміряйте відстань до перетину нового радіуса з колом (СD). Це ж відстань відкладіть на діаметрі АВ. Ви отримаєте нову точку (назвемо її Е). Відміряйте циркулем відстань від точки D до точки Е - воно буде дорівнює довжині сторони вашого майбутнього п'ятикутника .

3. Поставте циркуль в точку D і відкладіть на колі відстань, рівну відрізку DЕ. Повторіть цю процедуру ще 3 рази, а після цього об'єднайте точку D і 4 нові точки на початковій окружності. Отримана в результаті побудови фігура буде вірним п'ятикутником.

4. Щоб звести п'ятикутник іншим методом, для початку накресліть відрізок. Скажімо, це буде відрізок АВ довжиною 9 см. Далі поділіть ваш відрізок на 6 рівних частин. У нашому випадку довжина будь-якої частини становитиме 1,5 см. Зараз візьміть циркуль, поставте його в один з кінців відрізка і проведіть коло або дугу з радіусом, рівним довжині відрізка (АВ). Після цього переставте циркуль в інший кінець і повторіть операцію. Отримані кола (або дуги) перетнуться в одній точці. Назвемо її C.

5. Зараз візьміть лінійку і проведіть пряму через точку С і центр відрізка AB. Після цього починаючи від точки С відкладіть на цій прямій відрізок, що становить 4/6 відрізка AB. 2-й кінець відрізка позначимо літерою D. Точка D буде однією з вершин майбутнього п'ятикутника . З цієї точки проведіть коло або дугу з радіусом, рівним АВ. Ця окружність (дуга) перетне раніше побудовані вами кола (дуги) в точках, які є двома відсутніми вершинами п'ятикутника . Об'єднайте ці точки з вершинами D, А та В, і побудова позитивного п'ятикутника буде закінчено.

Відео по темі

Луч - це пряма лінія, проведена з точки і не має кінця. Існують і інші визначення променя: скажімо, «... це пряма, обмежена точкою з одного боку». Як позитивно накреслити промінь і які приналежності для креслення вам будуть потрібні?

Вам знадобиться

Аркуш паперу, олівець і лінійка.

Інструкція

1. Візьміть аркуш паперу і зауважте в довільному місці точку. Після цього прикладіть лінійку і проведіть лінію, починаючи з зазначеної точки і до безкінечності. Ця намальована лінія і називається променем. Зараз зауважте на промені ще одну точку, наприклад, буквою C. Лінія від вихідної і до точки C буде називатися відрізком. Якщо ви примітивно накресліть лінію і не помітите правда б одну точку, то ця пряма нічого очікувати бути променем.

2. Намалювати промінь в будь-якому графічному редакторі або в тому ж MSOffice не важче, ніж вручну. Для прикладу візьміть програму Microsoft Office 2010. Зайдіть в розділ «Вставка» і виберіть елемент «Постаті». У випадаючому списку виберіть фігуру «Лінія». Далі курсор набуде вигляду хрестика. Щоб накреслити рівну лінію, натисніть клавішу «Shift» і проведіть лінію необхідної довжини. Відразу пізніше накреслення відкриється вкладка «Формат». Тепер у вас намальована примітивно пряма лінія і відсутня фіксована точка, а виходячи з визначення, промінь повинен бути лімітований крапкою з одного боку.

3. Щоб зробити точку на початку лінії, зробіть наступне: виділіть намальовану лінію і викличте контекстне меню, натиснувши праву кнопку миші.

4. Виберіть пункт «Формат фігури». В меню зліва виберіть пункт «Тип лінії». Далі знайдіть заголовок «Параметри ліній» і виберіть «Тип початку» у вигляді кружечка. Там же ви можете налаштувати товщину ліній початку і кінця.

5. Приберіть виділення з лінії і побачите, що на початку лінії виникла точка. Для створення напису натисніть кнопку «Намалювати напис» і зробіть поле, де буде знаходитися напис. Пізніше написання написи клікніть на вільне місце і вона активується.

6. Луч благополучно намальований і зайняло це кожного кілька хвилин. Малювання променя в інших редакторах здійснюється за таким же тезі. Утримуючи клавішу «Shift» незмінно будуть малюватися пропорційні фігури. Славного користування.

Відео по темі

Зверніть увагу!
Ставлення діагоналі вірного п'ятикутника до його стороні складає золотий перетин (ірраціональне число (1 + √5) / 2) .Весь з п'яти внутрішніх кутів п'ятикутника дорівнює 108 °.

Корисна порада
Якщо об'єднати вершини вірного п'ятикутника діагоналями, то вийде пентаграма.

Ця фігура є багатокутником з мінімальною кількістю кутів, яким неможливо замостити площу. Тільки у п'ятикутника кількість діагоналей збігається з кількістю його сторін. Скориставшись формулами для довільного правильного багатокутника, можна визначити всі необхідні параметри, які має пентагон. Наприклад, вписати його в коло з заданим радіусом або побудувати на базі заданої збоку.

Як правильно накреслити промінь і які приналежності для креслення вам знадобляться? Візьміть аркуш паперу і відзначте в довільному місці точку. Потім прикладіть лінійку і проведіть лінію, починаючи з зазначеної точки і до безкінечності. Щоб накреслити рівну лінію, натисніть клавішу «Shift» і проведіть лінію потрібної довжини. Відразу після накреслення відкриється вкладка «Формат». Приберіть виділення з лінії і побачите, що на початку лінії з'явилася точка. Для створення напису натисніть кнопку «Намалювати напис» і створіть поле, де буде знаходитися напис.

Перший спосіб побудови п'ятикутника вважається більш «класичним». Отримана в результаті побудови фігура буде правильним п'ятикутником. Двенадцатіугольнік не є винятком, тому його побудова буде неможливим без застосування циркуля. Завдання побудови правильного п'ятикутника зводиться до задачі розподілу окружності на п'ять рівних частин. Накреслити пентаграму можна з використанням простих інструментів.

Я довго бився намагаючись цього домогтися і самостійно знайти пропорції і залежності, але мені цього не вдалося. Виявилося, що є кілька різних варіантів побудови правильного п'ятикутника, розроблених відомими математиками. Інересним моментів є те, що арифметично це завдання вирішити тільки приблизно точно, оскільки доведеться використовувати ірраціональні числа. Зате її можна вирішити геометрично.

Розподіл кіл. Точки перетину цих ліній з колом і є вершинами квадрата. У окружності радіуса R (Крок 1) слід провести вертикальний діаметр. У точці сполучення N прямої та кола пряма є дотичною до кола.

Отримання за допомогою смужки паперу

Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною і косинцем 30X60 °. Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля і косинця з кутами в 30 і 60 ° або тільки одного циркуля. Щоб побудувати сторону 2-3, встановлюємо рейсшини в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника. Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів з полюса F і через непарні поділу вертикального діаметра.

А на інший кінець нитки встановлюються олівець і одержимий. Якщо вмієте креслити зірку, але не вмієте п'ятикутник, накресліть зірку олівцем, потім з'єднайте між собою сусідні кінці зірки, а саму зірку потім зітріть. Потім покладіть аркуш паперу (краще його закріпити на столі за допомогою чотирьох кнопок або голочок). Приколіть ці 5 смужок до листка паперу кнопками або голочками, щоб вони залишалися нерухомими. Потім обведіть отриманий п'ятикутник і зніміть ці смужки з листка.

Наприклад, нам потрібно намалювати п'ятикутну зірку (пентаграму) для картини про Радянський минулому або про сьогодення Китаю. Правда для цього потрібно вміти створити малюнок зірки в перспективі. Точно так же ви зможете намалювати фігуру олівцем на папері. Як правильно намалювати зірку, що б вона виглядала рівно і красиво, відразу не відповіси.

З центру опусти на коло 2 променя, щоб кут між ними був 72 градуси (транспортиром). Розподіл кола на п'ять частин здійснюється за допомогою звичайного циркуля або транспортира. Оскільки правильний п'ятикутник - це одна з фігур, що містить в собі пропорції золотого перетину, його побудовою здавна цікавилися живописці і математики. Ці принципи побудови із застосуванням циркуля і лінійки були викладені ще в евклідова «Засадах».

Побудова вписаного в коло правильного шестикутника. Побудова шестикутника засноване на тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити окружність на шість рівних частин і з'єднати знайдені точки між собою (фіг. 60, а).

Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною і косинцем 30X60 °. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр окружності за бісектрису кутів 1 і 4 (фіг. 60, б), будуємо боку 1 -6, 4-3, 4-5 і 7-2, після чого проводимо боку 5-6 і 3 2.

Побудова вписаного в коло рівностороннього трикутника. Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля і косинця з кутами в 30 і 60 ° або тільки одного циркуля.

Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.

1-2 досить побудувати по точці 1 і стороні 0-1 кут в 30 °. Для цього встановлюємо рейсшини і косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1-2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати сторону 2-3, встановлюємо рейсшини в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.

другий спосіб заснований на тому, що, якщо побудувати правильний шестикутник, вписаний в коло, і потім з'єднати його вершини через одну, то вийде рівносторонній трикутник.

Для побудови трикутника (фіг. 61, б) намічаємо на діаметрі вершину-точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1-4. Далі з точки 4 радіусом, рівним D / 2, описуємо дугу до перетину з колом в точках 3 і 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.

Побудова квадрата, вписаного в коло. Це побудова можна виконати за допомогою кутника і циркуля.

Перший спосіб заснований на тому, що діагоналі квадрата перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до його осях під кутом 45 °. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшини і косинець з кутами 45 ° так, як це показано на фіг. 62, а, і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4-1 і 3-2. Потім за допомогою рейсшини по катету кутника проводимо вертикальні боку квадрата 1-2 і 4-3.

Другий спосіб заснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги окружності, ув'язнені між кінцями діаметра (фіг. 62, б). Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом у описуємо дуги до взаємного їх перетину.

Далі через точки перетину дуг проводимо допоміжні прямі, відмічені на фігурі суцільними лініями. Точки їх перетину з колом визначать вершини 1 і 3; 4 і 2. Отримані таким чином вершини шуканого квадрата з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.

Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник (фіг. 63), виробляємо наступні побудови.

Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом в точках M і В. Поєднавши ці точки прямої, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральної лінією АТ в точці H. Поєднавши точку 1 з точкою H, отримаємо сторону п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим же розчином циркуля зарубки з вершин 2 і 5, отримаємо інші вершини 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.

Побудова правильного п'ятикутника по даній його стороні.

Отримаємо точку 1-вершину п'ятикутника. Потім радіусом, рівним АВ, з точки 1 описуємо дугу до перетину з дугами, раніше проведеними з точок А і В. Точки перетину дуг визначають вершини п'ятикутника 2 і 5. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного семикутника.

Нехай дана окружність діаметра D; потрібно вписати в неї правильний семикутник (фіг. 65). Ділимо вертикальний діаметр окружності на сім рівних частин. З точки 7 радіусом, рівним діаметру окружності D, описуємо дугу до перетину з продовженням горизонтального діаметра в точці F. Точку F назвемо полюсом багатокутника. Прийнявши точку VII за одну з вершин семикутника, проводимо з полюса F через парні розподілу вертикального діаметра промені, перетин яких з окружністю визначать вершини VI, V і IV семикутника. Для отримання вершин /// - /// з точок IV, V і VI проводимо до перетину з колом горизонтальні прямі. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів з полюса F і через непарні поділу вертикального діаметра.

Наведений спосіб придатний для побудови правильних багатокутників з будь-яким числом сторін.

Поділ кола на будь-яке число рівних частин можна проводити також, користуючись даними табл. 2, в якій наведено коефіцієнти, що дають можливість визначати розміри сторін правильних вписаних багатокутників.

Тлумачний словник Ожегова говорить, що п'ятикутник є обмежену п'ятьма пересічними прямими, що утворюють п'ять внутрішніх кутів, а також будь-який предмет подібної форми. Якщо у даного багатокутника всі сторони і кути однакові, то він називається правильним (Пентагоном).

Чим цікавий правильний п'ятикутник?

Саме в такій формі було побудовано всім відома будівля Міноборони Сполучених Штатів. З об'ємних правильних багатогранників лише додекаедр має межі в формі пентагона. А в природі геть відсутні кристали, грані яких нагадували б собою правильний п'ятикутник. Крім того, ця фігура є багатокутником з мінімальною кількістю кутів, яким неможливо замостити площу. Тільки у п'ятикутника кількість діагоналей збігається з кількістю його сторін. Погодьтеся, це цікаво!

Основні властивості і формули

Скориставшись формулами для довільного правильного багатокутника, можна визначити всі необхідні параметри, які має пентагон.

Центральний кут α \u003d 360 / n \u003d 360/5 \u003d 72 °.
Внутрішній кут β \u003d 180 ° * (n-2) / n \u003d 180 ° * 3/5 \u003d 108 °. Відповідно, сума внутрішніх кутів становить 540 °.
Ставлення діагоналі до бічної сторони дорівнює (1 + √5) / 2, тобто (приблизно 1,618).
Довжина сторони, яку має правильний п'ятикутник, може бути розрахована за однією з трьох формул, в залежності від того, який параметр вже відомий:

якщо навколо нього описана окружність і відомий її радіус R, то а \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72 ° / 2) ≈1,1756 * R;
в разі, коли окружність c радіусом r вписана в правильний п'ятикутник, а \u003d 2 * r * tg (α / 2) \u003d 2 * r * tg (α / 2) ≈ 1,453 * r;
буває так, що замість радіусів відома величина діагоналі D, тоді сторону визначають наступним чином: а ≈ D / 1,618.

Площа правильного п'ятикутника визначається, знову-таки, в залежності від того, який параметр нам відомий:
якщо є вписана або описана окружність, то використовується одна з двох формул:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r або S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

площа можна також визначити, знаючи лише довжину бічної сторони а:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.

Правильний п'ятикутник: побудова

Дану геометричну фігуру можна побудувати по-різному. Наприклад, вписати його в коло з заданим радіусом або побудувати на базі заданої збоку. Послідовність дій була описана ще в «Засадах» Евкліда приблизно 300 років до н.е. У будь-якому випадку, нам знадобляться циркуль і лінійка. Розглянемо спосіб побудови за допомогою заданої окружності.

1. Виберіть довільний радіус і накресліть коло, позначивши її центр точкою O.

2. На лінії окружності виберіть точку, яка буде служити однією з вершин нашого п'ятикутника. Нехай це буде точка А. З'єднайте точки О і А прямим відрізком.

3. Проведіть пряму через точку Про перпендикулярно до прямої ОА. Місце перетину цієї прямої з лінією окружності позначте, як точку В.

4. На середині відстані між точками О і В побудуйте точку С.

5. Тепер накресліть коло, центр якої буде в точці С і яка буде проходити через точку А. Місце її перетину з прямою OB (воно виявиться всередині самої першої окружності) буде точкою D.

6. Побудуйте коло, що проходить через D, центр якої буде в А. Місця її перетину з початковою окружністю потрібно позначити точками Е і F.

7. Тепер побудуйте коло, центр якої буде в Е. Зробити це треба так, щоб вона проходила через А. Її інше місце перетину оригінальної окружності потрібно позначити

8. Нарешті, побудуйте коло через А з центром в точці F. Позначте інше місце перетину оригінальної окружності точкою H.

9. Тепер залишилося тільки з'єднати вершини A, E, G, H, F. Наш правильний п'ятикутник буде готовий!

Побудова вписаного в коло правильного шестикутника.

Побудова шестикутника засноване на тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити окружність на шість рівних частин і з'єднати знайдені точки між собою.

Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною і косинцем 30X60 °. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр окружності за бісектрису кутів 1 і 4, будуємо боку 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 і 7 - 2, після чого проводимо боку 5 - 6 і 3 - 2.

Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля і косинця з кутами в 30 і 60 ° або тільки одного циркуля. Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.

перший спосіб (Фіг. 61, a) заснований на тому, що всі три кути трикутника 7, 2, 3 містять по 60 °, а вертикальна пряма, проведена через точку 7, є одночасно висотою і бісектрисою кута 1. Так як кут 0 - 1 - 2 дорівнює 30 °, то для знаходження сторони 1 - 2 досить побудувати по точці 1 і стороні 0 - 1 кут в 30 °. Для цього встановлюємо рейсшини і косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1 - 2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати сторону 2 - 3, встановлюємо рейсшини в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.

Для побудови трикутника намічаємо на діаметрі вершину точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1 - 4. Далі з точки 4 радіусом, рівним D / 2, описуємо дугу до перетину з колом в точках 3 і 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.

Це побудова можна виконати за допомогою кутника і циркуля.

перший спосіб заснований на тому, що діагоналі квадрата перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до його осях під кутом 45 °. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшини і косинець з кутами 45 ° так, як це показано на фіг. 62, а, і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4 - 1 і 3 -2. Потім за допомогою рейсшини по катету кутника проводимо вертикальні боку квадрата 1 - 2 і 4 - 3.

другий спосіб заснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги окружності, ув'язнені між кінцями діаметру. Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом у описуємо дуги до взаємного їх перетину.

Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.

Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник, виробляємо наступні побудови. Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом в точках M і В. Поєднавши ці точки прямої, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральної лінією АТ в точці H. Поєднавши точку 1 з точкою H, отримаємо сторону п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим же розчином циркуля зарубки з вершин 2 і 5, отримаємо інші вершини 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.

Побудова правильного п'ятикутника по даній його стороні.

Для побудови правильного п'ятикутника по даній його стороні (фіг. 64) ділимо відрізок AB на шість рівних частин. З точок А і В радіусом AB описуємо дуги, перетин яких дасть точку К. Через цю точку і розподіл 3 на прямий AB проводимо вертикальну пряму. Далі від точки К на цій прямій відкладаємо відрізок, рівний 4/6 AB. Отримаємо точку 1 -вершина п'ятикутника. Потім радіусом, рівним АВ, з точки 1 описуємо дугу до перетину з дугами, раніше проведеними з точок А і В. Точки перетину дуг визначають вершини п'ятикутника 2 і 5. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного семикутника.

Наведений спосіб придатний для побудови правильних багатокутників з будь-яким числом сторін.

Довжини сторін правильних вписаних багатокутників.

У першій колонці цієї таблиці вказані числа сторін правильного вписаного багатокутника, а в другій - коефіцієнти. Довжина сторони заданого багатокутника вийде від множення радіусу даної окружності на коефіцієнт, що відповідає числу сторін цього багатокутника.