Взаємне розташування двох прямих у просторі.

Взаємне розташування двох прямих і просторі характеризується наступними трьома можливостями.

Прямі лежать в одній площині і не мають спільних точок - паралельні прямі.

Прямі лежать і одній площині і мають одну спільну точку - прямі перетинаються.

У просторі дві прямі можуть бути розташовані ще так, що не лежать ні в одній площині. Такі прямі називаються перехресними (не перетинаються і не паралельні).

ПРИКЛАД:

ЗАВДАННЯ 434 В площині лежить трикутник ABC, a

У площині лежить трикутник ABC, a точка D не перебуває у цій площині. Точки М, N і K соответсвенно серединні точки відрізків DA, \u200b\u200bDB і DC

Теорема. Якщо одна з двох прямих лежить в деякій площині, а інша перетинає цю площину і точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі схрещуються.

На рис. 26 пряма a лежить в площині, а пряма з перетинає в точці N. Прямі a і с - перехресні.

Теорема.Через кожну з двох перехресних прямих проходить тільки одна площина, паралельна інший прямий.

На рис. 26 прямі a і b схрещуються. Чорний пряму а проведена площину a (альфа) || b (в площині B (бета) вказана пряма a1 || b).

Теорема 3.2.

Дві прямі, паралельні третій, паралельні.

Це властивість називається транзитивностіпаралельності прямих.

Доведення

Нехай прямі a і b одночасно паралельні прямій c. Припустимо, що a не паралельна b, тоді пряма a перетинається з прямою b в деякій точці A, що не лежить на прямій c за умовою. Отже, ми маємо дві прямі a і b, що проходять через точку A, що не лежить на даній прямій c, і одночасно паралельні їй. Це суперечить аксіомі 3.1. Теорема доведена.

Теорема 3.3.

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній.

Доведення

Нехай (AB) дана пряма, C - точка, що не лежить на ній. Пряма AC розбиває площину на дві півплощини. Точка B лежить в одній з них. Відповідно до аксіомою 3.2 можна від променя З A відкласти кут (ACD), рівний розі (CAB), в іншу полуплоскость. ACD і CAB - рівні внутрішні навхрест лежачі при прямих AB і CD і січною (AC) Тоді в силу теореми 3.1 (AB) || (CD). З урахуванням аксіоми 3.1. Теорема доведена.

Властивість паралельних прямих задається наступною теоремою, оберненою до теореми 3.1.

Теорема 3.4.

Якщо дві паралельні прямі пересічені третьої прямий, то внутрішні навхрест лежачі кути рівні.

Доведення

Нехай (AB) || (CD). Припустимо, що ACD ≠ BAC. Через точку A проведемо пряму AE так, що EAC \u003d ACD. Але тоді за теоремою 3.1 (AE) || (CD), а за умовою - (AB) || (CD). Відповідно до теореми 3.2 (AE) || (AB). Це суперечить теоремі 3.3, по якій через точку A, що не лежить на прямій CD, можна провести єдину пряму, паралельну їй. Теорема доведена.

Малюнок 3.3.1.

На підставі цієї теореми легко обґрунтовуються наступні властивості.

Якщо дві паралельні прямі пересічені третьої прямий, то відповідні кути рівні.

Якщо дві паралельні прямі пересічені третьої прямий, то сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 °.

Слідство 3.2.

Якщо пряма перпендикулярна одній з паралельних прямих, то вона перпендикулярна і інший.

Поняття паралельності дозволяє ввести наступне нове поняття, яке в подальшому знадобиться в 11-му розділі.

Два променя називаються однаково спрямованими, Якщо існує така пряма, що, по-перше, вони перпендикулярні цій прямій, по-друге, промені лежать в одній півплощині відносно цієї прямої.

Два променя називаються протилежно спрямованими, Якщо кожен з них однаково спрямований з променем, додатковим до іншого.

Однаково спрямовані промені AB і CD будемо позначати: а протилежно спрямовані промені AB і CD -

Малюнок 3.3.2.

Ознака перехресних прямих.

Якщо одна з двох прямих лежить в деякій площині, а інша пряма перетинає цю площину в точці, що не лежить на першій прямій, то ці прямі перехресні.

Випадки взаємного розташування прямих у просторі.

1. Можливі чотири різних випадку розташування двох прямих у просторі:

   
   

   - прямі перехресні, тобто чи не лежать в одній площині;

   - прямі перетинаються, тобто лежать в одній площині і мають одну спільну точку;

   - прямі паралельні, тобто лежать в одній площині і не перетинаються;

   - прямі збігаються.

   
   

   Отримаємо ознаки цих випадків взаємного розташування прямих, заданих канонічними рівняннями

   
   
   де - точки, що належать прямим і відповідно, a - напрямні вектори (ріс.4.34). позначимо через вектор, що з'єднує задані точки.
   
   

   Зазначеним вище випадків взаємного розташування прямих і відповідають наступні ознаки:

   
   

   - прямі і перехресні вектори НЕ компланарність;

   
   

   - прямі і перетинаються вектори компланарні, а вектори НЕ колінеарні;

   
   

   - прямі і паралельні вектори колінеарні, а вектори НЕ колінеарні;

   
   

   - прямі і збігаються вектори колінеарні.

   
   

   Ці умови можна записати, використовуючи властивості змішаного і векторного добутків. Нагадаємо, що мішаний добуток векторів в правій прямокутній системі координат знаходиться за формулою:

   
   
   і перетинаються визначник дорівнює нулю, а друга і третя його рядки не пропорційні, тобто
   

   - прямі і паралельні другий і третій рядки визначника пропорційні, тобто а перші два рядки не пропорційні, тобто

   
   

   - прямі і збігаються всі рядки визначника пропорційні, тобто

Доказ ознаки перехресних прямих.

Якщо одна з двох прямих лежить в площині, а інша перетинає цю площину в точці, яка не належить першої прямої, то ці дві прямі схрещуються.

Доведення

Нехай a належить α, b перетинається α \u003d A, A не належить a (креслення 2.1.2). Припустимо, що прямі a і b не схрещуються, тобто вони перетинаються. Тоді існує площину β, якій належать прямі a і b. У цій площині β лежать пряма a і крапка A. Оскільки пряма a і крапка A поза її визначають єдину площину, то β \u003d α. Але b водить β і b не належить α, отже, рівність β \u003d α неможливо.

У цій статті спочатку дамо визначення кута між перехресними прямими і наведемо графічну ілюстрацію. Далі відповімо на питання: «Як знайти кут між перехресними прямими, якщо відомі координати напрямних векторів цих прямих в прямокутній системі координат»? У висновку попрактікуемся в знаходженні кута між перехресними прямими при вирішенні прикладів і завдань.

Навігація по сторінці.

Кут між перехресними прямими - визначення.

До визначення кута між перехресними прямими будемо підходити поступово.

Спочатку нагадаємо визначення перехресних прямих: дві прямі в тривимірному просторі називаються перехресними, Якщо вони не лежать в одній площині. З цього визначення випливає, що перехресні прямі не перетинаються, не паралельні, і, тим більше, не збігаються, інакше вони обидві лежали б у деякій площині.

Наведемо ще допоміжні міркування.

Нехай в тривимірному просторі задані дві перехресні прямі a і b. Побудуємо прямі a 1 і b 1 так, щоб вони були паралельні перехресних прямих a і b відповідно і проходили через деяку точку простору M 1. Таким чином, ми отримаємо дві пересічні прямі a 1 і b 1. Нехай кут між пересічними прямими a 1 і b 1 дорівнює куту. Тепер побудуємо прямі a 2 і b 2, паралельні перехресних прямих a і b відповідно, що проходять через точку М 2, відмінну від точки М 1. Кут між пересічними прямими a 2 і b 2 також буде дорівнює куту. Це твердження справедливо, так як прямі a 1 і b 1 співпадуть з прямими a 2 і b 2 відповідно, якщо виконати паралельне перенесення, при якому точка М 1 перейде в точку М 2. Таким чином, міра кута між двома пересічними в точці М прямими, відповідно паралельними заданим перехресних прямих, не залежить від вибору точки М.

Тепер ми готові до того, щоб дати визначення кута між перехресними прямими.

Визначення.

Кут між перехресними прямими - це кут між двома пересічними прямими, які відповідно паралельні заданим перехресних прямих.

З визначення випливає, що кут між перехресними прямими також не буде залежати від вибору точки M. Тому в якості точки М можна взяти будь-яку точку, що належить одній з перехресних прямих.

Наведемо ілюстрацію визначення кута між перехресними прямими.

Знаходження кута між перехресними прямими.

Так як кут між перехресними прямими визначається через кут між пересічними прямими, то знаходження кута між перехресними прямими зводиться до знаходження кута між відповідними пересічними прямими в тривимірному просторі.

Безсумнівно, для знаходження кута між перехресними прямими підходять методи, що вивчаються на уроках геометрії в середній школі. Тобто, виконавши необхідні побудови, можна зв'язати шуканий кут з будь-яким відомим з умови кутом, грунтуючись на рівність або подібність фігур, в деяких випадках допоможе теорема косинусів, А іноді до результату приводить визначення синуса, косинуса і тангенса кута прямокутного трикутника.

Однак дуже зручно вирішувати задачу знаходження кута між перехресними прямими методом координат. Саме його і розглянемо.

Нехай в тривимірному просторі введена Oxyz (правда, у багатьох задачах її доводиться вводити самостійно).

Поставимо перед собою задачу: знайти кут між перехресними прямими a і b, яким відповідають в прямокутній системі координат Oxyz деякі рівняння прямої в просторі.

Вирішимо її.

Візьмемо довільну точку тривимірного простору М і будемо вважати, що через неї проходять прямі a 1 і b 1, паралельні перехресних прямих a і b відповідно. Тоді шуканий кут між перехресними прямими a і b дорівнює куту між пересічними прямими a 1 і b 1 по визначенню.

Таким чином, нам залишилося знайти кут між пересічними прямими a 1 і b 1. Щоб застосувати формулу для знаходження кута між двома пересічними прямими в просторі нам потрібно знати координати напрямних векторів прямих a 1 і b 1.

Як же ми їх можемо отримати? А дуже просто. Визначення направляючого вектора прямої дозволяє стверджувати, що безлічі напрямних векторів паралельних прямих збігаються. Отже, в якості направляючих векторів прямих a 1 і b 1 можна прийняти напрямні вектори і прямих a і b відповідно.

Отже, кут між двома перехресними прямими a і b обчислюється за формулою
, де і - напрямні вектори прямих a і b відповідно.

Формула для знаходження косинуса кута між перехресними прямими a і b має вигляд .

Дозволяє знайти синус кута між перехресними прямими, якщо відомий косинус: .

Залишилося розібрати рішення прикладів.

Приклад.

Знайдіть кут між перехресними прямими a і b, які визначені в прямокутній системі координат Oxyz рівняннями і .

Рішення.

Канонічні рівняння прямої в просторі дозволяють відразу визначити координати направляючого вектор цієї прямої - їх дають числа в знаменниках дробів, тобто, . Параметричні рівняння прямої в просторі також дають можливість відразу записати координати направляючого вектора - вони рівні коефіцієнтам перед параметром, тобто, - направляючий вектор прямої . Таким чином, ми маємо в своєму розпорядженні усіма необхідними даними для застосування формули, за якою обчислюється кут між перехресними прямими:

відповідь:

Кут між заданими перехресними прямими дорівнює.

Приклад.

Знайдіть синус і косинус кута між перехресними прямими, на яких лежать ребра AD і BC піраміди АВСD, якщо відомі координати її вершин:.

Рішення.

Напрямними векторами перехресних прямих AD і BC є вектори і. Обчислимо їх координати як різниця відповідних координат точок кінця і початку вектора:

За формулою ми можемо обчислити косинус кута між зазначеними перехресними прямими:

Тепер обчислимо синус кута між перехресними прямими:

відповідь:

Наприкінці розглянемо рішення задачі, в якій потрібно знайти кут між перехресними прямими, а прямокутну систему координат доводиться вводити самостійно.

Приклад.

Дан прямокутний паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у якого АВ \u003d 3, АD \u003d 2 і AA 1 \u003d 7 одиниць. Точка E лежить на ребрі АА 1 і ділить його у відношенні 5 до 2 рахуючи від точки А. Знайдіть кут між перехресними прямими ВЕ і А 1 С.

Рішення.

Так як ребра прямокутного паралелепіпеда при одній вершині взаємно перпендикулярні, то зручно ввести прямокутну систему координат, і визначити кут між зазначеними перехресними прямими методом координат через кут між напрямними векторами цих прямих.

Введемо прямокутну систему координат Oxyz наступним чином: нехай початок координат збігається з вершиною А, вісь Ox збігається з прямою АD, вісь Oy - з прямою АВ, а вісь Oz - з прямою АА 1.

Тоді точка В має координати, точка Е - (при необхідності дивіться статтю), точка А 1 -, а точка С -. За координатами цих точок ми можемо обчислити координати векторів і. маємо , .

Залишилося застосувати формулу для знаходження кута між перехресними прямими за координатами напрямних векторів:

відповідь:

Список літератури.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Кисельова Л.С., Позняк Е. Г. Геометрія. Підручник для 10-11 класів середньої школи.
• Погорєлов А.В., Геометрія. Підручник для 7-11 класів загальноосвітніх установ.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
• Ільїн В.А., Позняк Е. Г. Аналітична геометрія.

Перехресні прямі легко розпізнати за такими ознаками. Ознака 1. Якщо на двох прямих знайдуться чотири точки, що не лежать в одній площині, то ці прямі схрещуються (рис. 1.21).

Дійсно, якби дані прямі перетиналися б або були б паралельні, то вони лежали б в одній площині, а тоді і дані точки лежали б в одній площині, що суперечить умові.

Ознака 2. Якщо пряма Про лежить в площині, а пряма b перетинає площину а в деякій точці

М, що не лежить на прямій а, то прямі а і b схрещуються (рис. 1.22).

Дійсно, взявши будь-які дві точки на прямій а і будь-які дві точки на прямій b, ми приходимо до ознаки 1, тобто а й b схрещуються.

Реальні приклади перехресних прямих дають транспортні розв'язки (рис. 1.23).

У просторі пар перехресних прямих, в даному разі, більше, ніж пар паралельних або пересічних прямих. Це можна пояснити так.

Візьмемо в просторі деяку точку А і деяку пряму а, що не проходить через точку А. Щоб провести через точку А пряму, паралельну прямій а, треба через точку А і пряму а провести площину а (пропозиція 2 п. 1.1), а потім в площині а провести пряму b, паралельну прямій а (рис. 1.24).

Така пряма b лише одна. Всі прямі, що проходять через точку А і перетинають пряму О, також лежать в площині а і заповнюють її всю за винятком прямої b. Всі ж інші прямі, що йдуть через А і заповнюють весь простір крім площині а, будуть схрещуватися з прямою а. Можна сказати, що перехресні прямі в просторі - це загальний випадок, а пересічні і паралельні - це окремі випадки. "Малі ворушіння" перехресних прямих залишають їх перехресними. Але властивості бути паралельними або пересічними при "малих ворушіння" в просторі не зберігаються.

Не минуло й хвилини, як я створив новий вёрдовскій файл і продовжив настільки захоплюючу тему. Потрібно ловити моменти робочого настрою, тому ліричного вступу не буде. Буде прозаїчна порка \u003d)

Дві прямі простору можуть:

1) схрещуватися;

2) перетинатися в точці;

3) бути паралельними;

4) збігатися.

Випадок № 1 принципово відрізняється від інших випадків. Дві прямі схрещуються, якщо вони не лежать в одній площині. Підніміть одну руку вгору, а іншу руку витягніть вперед - ось вам і приклад перехресних прямих. У пунктах ж № 2-4 прямі обов'язково лежать в одній площині.

Як з'ясувати взаємне розташування прямих у просторі?

Розглянемо дві прямі простору:

- пряму, задану точкою і направляють вектором;
- пряму, задану точкою і направляють вектором.

Для кращого розуміння виконаємо схематичний креслення:

На кресленні як приклад зображені перехресні прямі.

Як розібратися з цими прямими?

Так як відомі точки, то легко знайти вектор.

якщо прямі схрещуються, То вектори нЕ компланарність (Див. Урок Лінійна (не) залежність векторів. базис векторів), А, значить, визначник, складений з їх координат, ненульовий. Або, що фактично те ж саме, буде відмінно від нуля: .

У випадках № 2-4 наша конструкція «падає» в одну площину, при цьому вектори компланарність, А мішаний добуток лінійно залежних векторів дорівнює нулю: .

Розкручуємо алгоритм далі. Припустимо, що , Отже, прямі або перетинаються, або паралельні, або збігаються.

Якщо напрямні вектори колінеарні, То прямі або паралельні, або збігаються. Фінальним цвяхом пропоную наступний прийом: беремо якусь точку одній прямій і підставляємо її координати в рівняння другий прямий; якщо координати «підійшли», то прямі збігаються, якщо «не підійшли», то прямі паралельні.

Хід алгоритму невигадливий, але практичні приклади все одно не завадять:

приклад 11

З'ясувати взаємне розташування двох прямих

Рішення: Як і в багатьох задачах геометрії, рішення зручно оформити по пунктам:

1) Витягуємо з рівнянь точки і напрямні вектори:

2) Знайдемо вектор:

Таким чином, вектори компланарні, а значить, прямі лежать в одній площині і можуть перетинатися, бути паралельними або збігатися.

4) Перевіримо напрямні вектори на коллинеарность.

Складемо систему з відповідних координат даних векторів:

з кожного рівняння слід, що, отже, система сумісна, відповідні координати векторів пропорційні, і вектори колінеарні.

Висновок: прямі паралельні або збігаються.

5) З'ясуємо, чи є у прямих загальні точки. Візьмемо точку, що належить першої прямої, і підставимо її координати в рівняння прямої:

Таким чином, спільних точок у прямих немає, і їм нічого не залишається, як бути паралельними.

відповідь:

Цікавий приклад для самостійного рішення:

приклад 12

З'ясувати взаємне розташування прямих

Це приклад для самостійного рішення. Зверніть увагу, що у другій прямій як параметр виступає буква. Логічно. У загальному випадку - це ж дві різні прямі, тому у кожної прямої свій параметр.

І знову закликаю не пропускати приклади, пороти буду запропоновані мною завдання далеко не випадкові ;-)

Завдання з прямою в просторі

У заключній частині уроку я постараюся розглянути максимальну кількість різних завдань з просторовими прямими. При цьому буде дотриманий розпочатий порядок оповіді: спочатку ми розглянемо завдання зі перехресними прямими, потім з пересічними прямими, і в кінці поговоримо про паралельні прямі в просторі. Однак мушу сказати, що деякі завдання даного уроку можна сформулювати відразу для декількох випадків розташування прямих, і в зв'язку з цим розбиття розділу на параграфи кілька умовно. Є простіші приклади, є більш складні приклади, і, сподіваюся, кожен знайде те, що потрібно.

перехресні прямі

Нагадую, що прямі схрещуються, якщо не існує площині, в якій би вони обидві лежали. Коли я продумував практику, в голову прийшла завдання-монстр, і зараз радий представити вашій увазі дракона з чотирма головами:

приклад 13

Дано прямі. потрібно:

а) довести, що прямі схрещуються;

б) знайти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно даними прямим;

в) скласти рівняння прямої, яка містить загальний перпендикуляр перехресних прямих;

г) знайти відстань між прямими.

Рішення: Дорогу здолає той, хто йде:

а) Доведемо, що прямі схрещуються. Знайдемо точки і напрямні вектори даних прямих:

Знайдемо вектор:

обчислимо мішаний добуток векторів:

Таким чином, вектори нЕ компланарність, А значить, прямі схрещуються, що й треба було довести.

Напевно, все вже давно підмітили, що для перехресних прямих алгоритм перевірки виходить коротше всього.

б) Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точку і перпендикулярна прямим. Виконаємо схематичний креслення:

Для різноманітності я розмістив пряму ЗА прямими, подивіться, як вона трохи стерта в точках схрещування. Схрещування? Так, в загальному випадку пряма «де» буде схрещуватися з первісного прямого. Хоча даний момент нас поки не цікавить, треба просто побудувати перпендикулярну пряму і все.

Що відомо про прямий «де»? Відома належить їй точка. Бракує направляючого вектора.

За умовою пряма повинна бути перпендикулярна прямим, а значить, її направляючий вектор буде ортогонален напрямних векторів. Уже знайомий з Прикладу № 9 мотив, знайдемо векторний добуток:

Складемо рівняння прямої «де» по точці і направляючої вектору:

Готово. В принципі, можна змінити знаки в знаменниках і записати відповідь у вигляді , Але необхідності в цьому немає ніякої.

Для перевірки необхідно підставити координати точки в отримані рівняння прямої, потім за допомогою скалярного твори векторівпереконатися, що вектор дійсно ортогонален напрямних векторів «пе один» і «пе два».

Як знайти рівняння прямої, що містить загальний перпендикуляр?

в) Це завдання складніше буде. Чайникам рекомендую пропустити даний пункт, не хочу охолоджувати вашу щиру симпатію до аналітичної геометрії \u003d) До речі, і більш підготовленим читачам, можливо, краще теж почекати, справа в тому, що за складністю приклад треба б поставити останнім у статті, але за логікою викладу він повинен розташовуватися тут.

Отже, потрібно знайти рівняння прямої, яка містить загальний перпендикуляр перехресних прямих.

- це відрізок, що з'єднує дані прямі і перпендикулярний даними прямим:

Ось наш красень: - загальний перпендикуляр перехресних прямих. Він єдиний. Іншого такого немає. Нам же потрібно скласти рівняння прямої, яка містить даний відрізок.

Що відомо про прямий «ем»? Відомий її направляючий вектор, знайдений в попередньому пункті. Але, на жаль, ми не знаємо жодної точки, що належить прямій «ем», не знаємо і кінців перпендикуляра - точок. Де ця перпендикулярна пряма перетинає дві вихідні прямі? В Африці, в Антарктиді? З первинного огляду і аналізу умови взагалі не видно, як вирішувати задачу .... Але є хитрий хід, пов'язаний з використанням параметричних рівнянь прямої.

Рішення оформимо по пунктам:

1) Перепишемо рівняння першої прямої в параметричній формі:

Розглянемо точку. Координат ми не знаємо. АЛЕ. Якщо точка належить даній прямій, то її координатами відповідає, позначимо його через. Тоді координати точки запишуться у вигляді:

Життя налагоджується, одна невідома - все-таки не три невідомих.

2) Таке ж наруга потрібно здійснити над другою точкою. Перепишемо рівняння другий прямий в параметричному вигляді:

Якщо точка належить даній прямій, то при цілком конкретному значенніїї координати повинні задовольняти параметричних рівнянь:

або:

3) Вектор, як і раніше знайдений вектор, буде напрямних вектором прямої. Як скласти вектор за двома точками, розглядалося в незапам'ятні часи на уроці Вектори для чайників. Зараз відмінність полягає в тому, що координати векторів записані з невідомими значеннями параметрів. Ну і що? Ніхто ж не забороняє з координат кінця вектора відняти відповідні координати початку вектора.

Є дві точки: .

Знаходимо вектор:

4) Оскільки направляючі вектори колінеарні, то один вектор лінійно виражається через інший з деяким коефіцієнтом пропорційності «лямбда»:

Або покоординатно:

Вийшла сама, що ні на є звичайна система лінійних рівнянь з трьома невідомими, яка стандартно можна вирішити, наприклад, методом Крамера. Але тут є можливість відбутися малою кров'ю, з третього рівняння висловимо «лямбда» і підставимо її в перше і друге рівняння:

Таким чином: , А «лямбда» нам не буде потрібно. Те, що значення параметрів вийшли однаковими - чиста випадковість.

5) Небо повністю прояснюється, підставимо знайдені значення в наші точки:

Спрямовує вектор особливо не потрібен, так як вже знайдений його колега.

Після довгого шляху завжди цікаво виконати перевірку.

:

Отримано вірні рівності.

Підставами координати точки в рівняння :

Отримано вірні рівності.

6) Заключний акорд: складемо рівняння прямої по точці (можна взяти) і направляючої вектору:

В принципі, можна підібрати «хорошу» точку з цілими координатами, але це вже косметика.

Як знайти відстань між перехресними прямими?

г) зрубують четверту голову дракона.

спосіб перший. Навіть не спосіб, а невеликий приватний випадок. Відстань між перехресними прямими дорівнює довжині їх загального перпендикуляра: .

Крайні точки загального перпендикуляра знайдені в попередньому пункті, і завдання елементарна:

спосіб другий. На практиці найчастіше кінці загального перпендикуляра невідомі, тому використовують інший підхід. Через дві перехресні прямі можна провести паралельні площині, і відстань між даними площинами дорівнює відстані між даними прямими. Зокрема, між цими площинами і стирчить загальний перпендикуляр.

В курсі аналітичної геометрії з вищесказаних міркувань виведена формула знаходження відстані між перехресними прямими:
(Замість наших точок «ем один, два» можна взяти довільні точки прямих).

Змішане твір векторів вже знайдено в пункті «а»: .

Векторний добуток векторів знайдено в пункті «бе»: , Обчислимо його довжину:

Таким чином:

Гордо викладемо трофеї в один ряд:

відповідь:
а) , Значить, прямі схрещуються, що й треба було довести;
б) ;
в) ;
г)

Що ще можна розповісти про перехресні прямі? Між ними визначений кут. Але універсальну формулу кута розглянемо в наступному параграфі:

Пересічні прямі простору обов'язково лежать в одній площині:

Перша думка - всіма силами навалитися на точку перетину. І відразу ж подумалося, навіщо собі відмовляти в правильних бажаннях ?! Давайте навалимося на неї прямо зараз!

Як знайти точку перетину просторових прямих?

приклад 14

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Перепишемо рівняння прямих в параметричної формі:

Дане завдання детально розглядалася в Прімері № 7 даного уроку (див. Рівняння прямої в просторі). А самі прямі, до слова, я взяв з Прикладу № 12. Брехати не буду, нові лінь придумувати.

Прийом рішення стандартний і вже зустрічався, коли ми вимучували рівняння загального перпендикуляра перехресних прямих.

Точка перетину прямих належить прямій, тому її координати задовольняють параметричних рівнянь даної прямий, і їм відповідає цілком конкретне значення параметра:

Але ця ж точка належить і другий прямий, отже:

Прирівнюємо відповідні рівняння і проводимо спрощення:

Отримано система трьох лінійних рівнянь з двома невідомими. Якщо прямі перетинаються (що доведено в Прімері № 12), то система обов'язково сумісна і має єдиний розв'язок. Її можна вирішити методом Гаусса, Але вже таким дитсадкові фетишизмом грішити не будемо, зробимо простіше: з першого рівняння висловимо «ТЕ нульове» і підставимо його в друге і третє рівняння:

Останні два рівняння вийшли, по суті, однаковими, і з них випливає, що. тоді:

Підставами знайдене значення параметра в рівняння:

відповідь:

Для перевірки підставимо знайдене значення параметра в рівняння:
Отримано ті ж самі координати, що і було потрібно перевірити. Допитливі читачі можу підставити координати точки і в вихідні канонічні рівняння прямих.

До речі, можна було вчинити навпаки: точку знайти через «ес нульове», а перевірити - через «те нульове».

Відома математичний прикмета свідчить: там, де обговорюють перетин прямих, завжди пахне перпендикулярами.

Як побудувати пряму простору, перпендикулярну даної?

(Прямі перетинаються)

приклад 15

а) Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно прямий (Прямі перетинаються).

б) Знайти відстань від точки до прямої.

Примітка : Застереження «прямі перетинаються» - істотна. через точку
можна провести нескінченно багато перпендикулярних прямих, які будуть схрещуватися з прямою «ель». Єдине рішення має місце в разі, коли через дану точку проводиться пряма, перпендикулярна двом заданим прямим (див. Приклад № 13, пункт «б»).

а) Рішення: Невідому пряму позначимо через. Виконаємо схематичний креслення:

Що відомо про прямий? За умовою дана точка. Для того, щоб скласти рівняння прямої, необхідно знайти спрямовує вектор. В якості такого вектора цілком підійде вектор, їм і займемося. Точніше, візьмемо за шкірку невідомий кінець вектора.

1) Витягнемо з рівнянь прямої «ель» її направляючий вектор, а самі рівняння перепишемо в параметричної формі:

Багато здогадалися, зараз вже в третій раз за урок фокусник дістане білого лебедя з капелюха. Розглянемо точку з невідомими координатами. Оскільки точка, то її координати задовольняють параметричних рівнянь прямої «ель» і їм відповідає конкретне значення параметра:

Або одним рядком:

2) За умовою прямі повинні бути перпендикулярні, отже, їх направляють вектори - ортогональні. А якщо вектори ортогональні, то їх скалярний твір дорівнює нулю:

Що вийшло? Найпростіше лінійне рівняння з однією невідомою:

3) Значення параметра відомо, знайдемо точку:

І спрямовує вектор:
.

4) Рівняння прямої складемо по точці і направляючої вектору:

Знаменники пропорції вийшли дробові, і це як раз той випадок, коли від дробів доречно позбутися. Я просто їх помножу на -2:

відповідь:

Примітка : Більш сувора кінцівка рішення оформляється так: складемо рівняння прямої по точці і направляючої вектору. Дійсно, якщо вектор є навправляющім вектором прямої, то колінеарний йому вектор, природно, теж буде напрямних вектором даної прямої.

Перевірка складається з двох етапів:

1) перевіряємо напрямні вектори прямих на ортогональность;

2) підставляємо координати точки в рівняння кожної прямої, вони повинні «підходити» і там і там.

Про типові діях говорилося дуже багато, тому я виконав перевірку на чернетці.

До речі, забув ще пунктик - побудувати точку «зю» симетричну точці «ен» щодо прямої «ель». Втім, є хороший «плоский аналог», з яким можна ознайомитися в статті Найпростіші задачі з прямою на площині. Тут же вся відмінність буде у додатковій «зетовий» координаті.

Як знайти відстань від точки до прямої в просторі?

б) Рішення: Знайдемо відстань від точки до прямої.

спосіб перший. Дане відстань в точності дорівнює довжині перпендикуляра:. Рішення очевидно: якщо відомі точки , То:

спосіб другий. У практичних завданнях підставу перпендикуляра частенько таємниця за сімома печатками, тому раціональніше користуватися готової формулою.

Відстань від точки до прямої виражається формулою:
, Де - направляючий вектор прямої «ель», а - довільнаточка, що належить даній прямій.

1) З рівнянь прямої дістаємо спрямовує вектор і найдоступнішу точку.

2) Точка відома з умови, заточені вектор:

3) Знайдемо векторний витвір і обчислимо його довжину:

4) Розрахуємо довжину направляючого вектора:

5) Таким чином, відстань від точки до прямої:

ТЕКСТОВА Розшифровка УРОКУ:

Вам вже відомі два випадки взаємного розташування прямих у просторі:

1.пересекающіеся прямі;

2.параллельние прямі.

Згадаймо їх визначення.

Визначення. Прямі в просторі називаються пересічними, якщо вони лежать в одній площині і мають одну спільну точку

Визначення. Прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Загальним для цих визначень є те, що прямі лежать в одній площині.

У просторі так буває не завжди. Ми можемо мати справу з декількома площинами, і не всякі дві прямі будуть лежати в одній площині.

Наприклад, ребра куба ABCDA1B1C1D1

AB і A1D1 лежать в різних площинах.

Визначення. Дві прямі називаються перехресними, якщо не існує такої площини, яка б проходила через ці прямі. З визначення зрозуміло, що дані прямі не перетинаються і не паралельні.

Доведемо теорему, яка виражає ознаку перехресних прямих.

Теорема (ознака перехресних прямих).

Якщо одна з прямих лежить в деякій площині, а інша пряма перетинає цю площину в точці яка не належить цій прямій, то ці прямі перехресні.

Пряма AB лежить в площині α. Пряма CD перетинає площину α в точці С, яка не належить прямій АВ.

Довести, що прямі AB і DC - схрещуються.

Доведення

Доказ будемо вести методом від противного.

Припустимо, АВ і CD лежать в одній площині, позначимо її β.

Тоді площину β проходить через пряму AB і точку C.

За слідству з аксіом, через пряму AB і не лежить на ній крапку C можна провести площину, і притому тільки одну.

Але у нас вже є така площина - площина α.

Отже, площини β і α збігаються.

Але це неможливо, тому що пряма CD перетинає α, а не лежить в ній.

Ми прийшли до протиріччя, отже, наше припущення невірно. AB і CD лежать в

різних площинах і є перехресними.

Теорема доведена.

Отже, можливі три способи взаємного розташування прямих у просторі:

А) Прямі перетинаються, тобто мають тільки одну спільну точку.

Б) Прямі паралельні, тобто лежать в одній площині і не мають спільних точок.

В) Прямі схрещуються, тобто чи не лежать в одній площині.

Розглянемо ще одну теорему про перехресних прямих

Теорема. Через кожну з двох перехресних прямих проходить площину, паралельна інший прямий, до того ж лише одна.

АВ і CD - перехресні прямі

Довести, що існує площина α така, що пряма AB лежить в площині α, а пряма CD паралельна площині α.

Доведення

Доведемо існування такої площини.

1) Через точку A проведемо пряму AE паралельно CD.

2) Так як прямі AE і АВ перетинаються, то через них можна провести площину. Позначимо її через α.

3) Так як пряма CD паралельна AE, а AE лежить в площині α, то пряма CD ∥ площині α (по теоремі про перпендикулярність прямої і площини).

Площина α - шукана площину.

Доведемо, що площина α - єдина, яка задовольнить умові.

Будь-яка інша площина, що проходить через пряму АВ, буде перетинати AE, а значить і паралельну їй пряму CD. Тобто, будь-яка інша площина, що проходить через AB перетинається з прямою CD, тому не є їй паралельної.

Отже, площина α - єдина. Теорема доведена.